Overview概述
本文将通过对比股票市场期权产品、商品交易所期权产品以及比特币期权产品来介绍比特币期权市场价格的有效性。
Report报告
风险中性概率
在我们开始讨论不同的期权定价模型之前，我们需要了解风险中性概率的概念。风险中性概率广泛应用于期权定价中，在不同的期权定价模型中可能会遇到。风险中性概率是根据风险调整后的未来结果的理论概率。这一概念背后有两个主要假设:
资产的当前价值等于以无风险利率折现的预期收益。
市场上没有套利机会。
风险中性概率是指股票价格在风险中性世界中上升的概率。但是，我们并没有假设市场上所有的投资者都是风险中性的，也没有假设风险资产会获得无风险的收益率。这个理论价值衡量的是购买和出售资产的概率，就好像市场上所有东西都有一个单一的概率一样。
期权定价
在介绍各市场期权产品之前，我们首先探讨一下本文即将使用的两种期权定价方式：B-S定价模型以及B-A-W定价模型。
B-S定价模型
首先来看推导BS微分方程时用到的假设：
期权的行权方式为欧式，即只有到期日才可以行权。
杭州市长：推动区块链等技术在亚残运会深度应用:金色财经报道，11月18日下午，杭州亚残运会代表团团长大会开幕，杭州亚残组委副主席兼秘书长、杭州市委副书记、市长刘忻表示，充分运用数字化改革成果，推动大数据、云计算、区块链、人工智能等技术在场馆运行、赛事活动、服务保障等环节的深度应用，全力呈献一届智能智慧的体育盛会。[2021/11/19 6:59:20]
股票的价格符合几何布朗运动，即股票的不确定性满足对数正态分布。
可以做空证券，且证券可以被分割。
市场无摩擦，即不存在交易费用和税收。
在期权期限内，标的股票不支付股息。
在期权期限内，标的股票年收益率的标准差σ已知且保持不变。
市场不存在无风险套利机会。
标的资产交易是连续的。
短期无风险利率为常数并已知。
不过，这些假设可以放宽，并在必要时根据特殊情况进行调整。此外，我们可以很容易地使用这个模型来为股票以外的资产(货币、期货)的期权定价。
根据Black-Scholes模型，我们可以推导出以下数学公式来计算欧洲看涨期权和看跌期权的公允价值:
上述公式使用了风险调整后的概率。N(d1)是风险调整后的在期权到期时收到股票的概率。N(d2)是期权将被执行的风险调整概率。这些概率是使用因子d1和d2的正态累积分布计算的。该公式给出了非派息股票的欧洲看涨期权的价值/价格。函数N(?)代表累积分布函数为正态(高斯)分布，这是一个随机变量的概率是小于等于其输入条件(即d?和d?)正态分布的。概率N的值(?)换句话说永远是0≤N(?)≤1之间。输入d?和d?得出:
动态 | 海尔与杭州趣链成立合资公司 布局服装物联领域区块链:天眼查数据显示，海尔集团旗下公司近期与杭州趣链科技有限公司合资成立杭州甘道智能科技有限公司，杭州趣链科技有限公司董事长为曾给局讲解区块链的中科院院士陈纯。天眼查信息显示，杭州甘道智能科技有限公司成立于2019年11月14日，注册资本1000万人民币，法定代表人为孙传滨，疑似实际控制人为青岛海尔科技投资有限公司。经营范围包括技术开发、技术服务、技术咨询、成果转让、物联网技术等。[2019/11/20]
Black-Scholes模型主要用于计算欧式期权的理论价值，由于美式期权具有在到期日之前行权的特点，因此不能应用于欧式期权。
Black-Scholes模型中使用的主要变量包括:
标的资产的价格(S)是该资产的当前市场价格
执行价格(K)是期权可以被执行的价格
波动率是衡量证券价格在随后的阶段变动幅度的指标
截止时间(T)是指从计算日期到执行日期之间的时间
利率(r)为无风险利率
股息收益率最初并不是模型的主要输入内容。最初的B-S模型是为无股利股票的期权定价而开发的。由于我们通过Delta对冲消除了随机性，该方程中没有任何随机变量，所以它是一个一般的微分方程，而非随机微分方程。求解这个微分方程需要给定的边界条件。对于欧式看涨期权，它的边界条件为当时间t=T时，期权的价格C必须满足C=max(S(T)-K,0)这里K是行权价格。
动态 | 杭州余杭区将重点发展区块链等技术:据余杭晨报消息，1月2日，余杭区人大常委会召开机关党组（扩大）会议。会议指出，2019年，区经信局将重点做好发展数字经济、推进智能制造、产业改造提升、淘汰落后产能、做优营商环境五方面工作。余杭区重点发展以“互联网+、机器人+、标准化+、大数据+”为标志和A（人工智能）B（区块链）C（云计算）D（大数据）为技术方向的新产业新业态，力争实现数字经济增加值1500亿元以上。[2019/1/3]
对于任何一个期权，在定价时有两个不确定性需要考虑：
这个期权到行权日到底是不是实值期权，就是到底有没有行权的价值。
如果行权了，那么我们的收益到底能有多少。
这两个不确定性恰恰就对应着由BS定价公式中的N。
B-A-W定价模型
我们知道，欧式期权只有在到期日才能行权，美式期权在到期日前的任何时候都能行权，就是这种行权时间的灵活性赋予了它相对欧式期权的一个溢价，那么，问题就清楚了，美式期权的定价公式如下：
美式期权价格=欧式期权价格+溢价
那么具体怎么计算呢，首先我们先引入一个描述期权价值的众所周知的偏微分方程:
这只是对B-S模型的基本假设做了一些调整。基本上，我们允许对标的资产发放股息(d)，并假设其收益率为不变。股息收益率定义为每股股息除以股价。资产的持有成本(b)是无风险回报率减去年度股息收益率(b=r-d)。当d=0和b=r时，这是普通的B-S公式。当r=d和b=0时，这是期货期权的B-S模型。
动态 | 杭州等新一线城市对区块链的关注度由高峰走向下沉:据新京报消息，2018年1月至10月期间，新一线城市对区块链等五大技术的搜索量数据显示，新一线城市对区块链的关注度超过其他技术，在今年呈现出升至高峰又滑向冷却的走势。新一线城市中，杭州对区块链的关注度一直保持领先，在7月到9月出现骤降。数字货币领域乱象的不断牵出，或加剧了杭州对区块链关注度的下滑。[2018/11/22]
提前行权溢价的定义为：
在这里我要多解释一句：其中，C(S,T)是美式期权价值，c(S,T)是欧式期权价值。这里的基本要点是，美式期权的价值必须等于欧式期权价值加上一个额外特征的溢价。现在，让时间从到期日的时间向后发展,*t，此时此刻的时间为t。然后到期时间T的定义是T=?t-t溢价率的变化对时间是一个等式εT=?εt。我们将这个结论应用于之前的偏微分方程，得到了提前行权溢价的偏微分方程。
我们用M=2r/σ^2,N=2b/σ^2带入公式，把他简化一下：
杭州区块链产业园暂行政策：吸引高层次人才安家落户:据《中国·杭州区块链产业园政策》文件显示，杭州区块链产业园欲吸引高层次人才安家落户，购房补贴最高可达 300 万元；针对现行人才认定标准难以界定的“偏才”、“专才”，按照一事一议原则予以认定，享受相应的补助；对实际落户产业园的区块链初创企业，给予办公用房租金补贴、研发经费补助、云服务等服务费用补贴；重点引进成长型企业，引进行业内具有明显竞争优势和示范带动效应、上年度营收在 500 万元以上的区块链及相关领域项目；全面加强金融支持，通过评审的企业可申请最高500万元创业贷、最高150万元天使梦想基金支持，进入产业化阶段的可享受最高2000万元让利性股权投资引导基金支持。[2018/5/25]
然后Barone-Adesi&Whaley将提前行权溢价改写为εc(S,K)=K(T)f(S,K)，表示为到期时间和股价的函数。可得εSS=-KfSS和εT=KKTf+KKTfK。将这些代入上式，通过收集项和因式分解可知
其中，K=1-exp是已知条件。
到目前为止，我们还没有做出任何近似，因此这仍然是一个精确的分析。现在看看(1?K)MfKLHS的最后一部分。通过让T趋于0,fK趋于0，如果T趋于无穷，K趋于1。因此通过消去最后一项，剩下的方程是一个整洁的二阶常微分方程。
我们通过求线性解，得出一个通用解：
显而易见，现在有一个问题，那就是如何承认和设定公式的边界条件。由于q1<0，则当S=0时，f(S)→±∞。这是不太合理的，因为从逻辑上讲，不值得为不值钱的东西支付额外的钱。一般来说，如果S趋向于零，那么提前行权溢价也必然趋向于零。因此施加约束a1=0，使a2S^q^2永远不能接近±∞。这个公式可以写成
到这里，公式的推导基本就成功了。另外我们利用牛顿迭代法，就可以得到
这也就是公式的最终解。
实例分析
首先，我们分别取用了道琼斯、标准普尔500和纳斯达克指数基金的期权以及OKex、Deribit和上证50ETF的期权进行比较。
我们分别计算了上述六个期权的期权费与行权价的比、期权费与限价的比、限价与行权价的比。并通过B-S模型和B-A-W模型分别计算了他们的模型价值以及实际期权费与模型期权费的偏移值。
从图中可以看出，与模型差距最小的是okex和deribit的期权，其中okex的期权与模型价格相差无几。欧式期权价格偏移值明显高于美式期权，这也是由于模型缺陷造成的正常现象。
我们同时计算了这六个看涨期权的breakevenprice和行权价以及和现价的偏移值，可以看出，btc期权的偏移值明显高于其他期权。
于是，我们每个期权采集了八条不同行权价的期权，总共48条数据进行观测，试图寻找期权中的偏移值与隐含波动率的关系，结果如下：
根据观测的结果，我们可以发现偏移率能够解释98.43%的隐含波动率情况，也就是说，线性推导关系成立。所有的期权偏移率与其隐含波动率完美符合，即btc期权市场有效性与其他市场有效性相同。
注1：数据采集于7月9日下午2时37分
Conclusion结语
对于投资者来说，除持仓风险外，对OKEx与Deribit交易所基本可以排除其市场定价有效性的怀疑。
风险提示：
警惕打着区块链和新技术的旗号进行非法金融活动，标准共识坚决抵制利用区块链进行非法集资、网络、ICO及各种变种、传播不良信息等各类违法行为。
郑重声明： 本文版权归原作者所有， 转载文章仅为传播更多信息之目的， 如作者信息标记有误， 请第一时间联系我们修改或删除， 多谢。