前言
Bulletproofs，又一个有意思的零知识证明算法，相信读者已经很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信设置；和zk-stark算法相比，它具有较小的proofsize。根据论文，它有两个方面的应用：1.用于rangeproof；2.用于一般算术电路的零知识证明。下面，让我们先看一下Bulletproofs是如何高效的实现第一点。
Rangeproof
1.?预备知识
aL：表示向量{a1,a2……an}
2n：表示向量{20,21…2n-1}
<a,b>：表示向量内积∑ai*bi，结果是一个值
aob：向量对应位相乘，{a1*b1……an*bn}，结果是一个向量
2.?证明
Alice想要证明
v?
=>则，需要证明一个relation得成立，如下所示：
{：V=grhv^v?}
public-x??????????witness-wrelation-R
即，对于公开信息x，Alice有隐私信息w，使得关系R成立。
令aL为金额v的在范围内的二进制形式，则aL={a1,a2……an}?{0,1}n，且满足<aL,2n>=v。因此，证明者需要证明以下几个等式相等：
北京市西城区：围绕、区块链等核心数字技术领域，支持建立国家和市级重点实验室等创新平台:1月3日消息，《北京市西城区加快推进数字经济发展若干措施(试行)》发布，其中包括积极承接国家及市级重点任务。围绕5G、大数据、人工智能、区块链等核心数字技术领域，支持建立国家和市级重点实验室、工程研究中心、技术创新中心等创新平台。
加快新一代信息技术产业发展。鼓励5G、网络安全、大数据、区块链等重点领域快速发展，支持关键技术研发和行业应用，支持在智慧城市建设、民生服务等领域率先形成应用示范，培育一批优势企业，打造协同共生的产业生态。[2021/1/3 16:19:48]
V=grhv????(1)
<aL,2n>=v???(2)
aLoaR=0n??(3)
aR=aL-1n???(4)
等式(1)确保了承诺V和金额v的绑定关系，等式(2)确保了v的范围，等式(3)(4)确保了a
L元素只属于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)总共包含了2n+1个约束，其中公式(2)1个，公式(3)(4)各n个。接下来，为了效率，我们需要把2n+1个约束转换成1个约束。
3.?2n+1个约束转换成1个约束
=>预备：从Zp中任意选择一个数y，则b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分条件；因为当b!=0n，等式成立的概率仅有n/p，p是有限域，远大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么验证者愿意相信b!=0n。
声音 | 工行原行长杨凯生：目前一些银行借助区块链等新技术提供个性化服务:据第一财经消息，近日，在神州信息2019Fintech高峰论坛上，中国工商银行原行长杨凯生表示，目前一些银行借助云计算、大数据、区块链、人工智能等新技术，依托云计算技术能力和银行相对比较完善的管理制度及社会公信力，为一些优质客户提供云承载，进而对各类客户进行细分行业和细分服务需求，努力提供定制化个性化的服务。在一定程度上可以说商业银行“金融生态云”体系已经诞生并正在迅速发展。可以预料，这将成为银行转型的一个新方向。[2019/7/25]
利用这个理论，我们把等式(2)/(3)/(4)做以下转换：
1.验证者随机选取一个数y发送给证明者；
2.证明者要证明：
<aL,2n>=v(5)
<aL,aRoyn>=0???????(6)
<aL-1n-aR,yn>=0???(7)
同理，等式(5)确保了v的范围，等式(6)(7)确保了a
L元素只属于{0,1}。此时2n+1个约束转换成3个约束，接下来，还需要做进一步的处理：
1.验证者随机选取一个数z发送给证明者：
2.证明者利用z对公式(5)(6)(7)进行线性组合，得到如下公式：
声音 | 工信部总经济师王新哲：努力攻克区块链等前沿技术:2018中国“互联网+”峰会今日在中国科技会堂召开。工信部总经济师王新哲强调，持续推进国家制造业创新中心建设，加快构建产学研用融合协同的技术创新体系，努力攻克高端芯片、工业操作系统、工业软件等基础技术以及下一代网络、人工智能、区块链等前沿技术。[2018/12/4]
z2*<aL,2n>+z*<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v???(8)
至此，我们已经把2n+1个约束转换成1个约束。下面我们对公式(8)做进一步的优化，把三个点积优化成1个点积
4.?三个点积优化成1个点积
=>z2*<aL,2n>+z*?<aL-1n-aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v
=><aL,z2*2n>+<aL,z*yn>-<z*1n,yn>-<z*aR,yn>+<aL,aRoyn>=z2*v
=><aL,aRoyn+z*yn+z2*2n>-<z*1n,yn>+<z*1n,ynoaR>=z2*v
=><aL,aRoyn+z*1noyn+z2*2n>-<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v
动态 | 陕西利用区块链等技术助力苹果产业发展:据人民网消息，近日，《陕西国家级苹果产业大数据中心建设方案》通过专家评审，根据方案，陕西省将坚持“大平台、大数据、大系统”的建设原则，重点利用区块链等数字科技，解决品牌认证的数据可信问题，让大数据服务苹果品牌，快速提升品牌价值[2018/11/20]
=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,yn+ynoaR>=z2*v
=><aL,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-?<z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n-z*1n*yn+yn-z2*2n>?=?z2*v
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>-<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>=?z2*v
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,-z*1n*yn+yn-z2*2n>
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+<z*1n,(-z*1n+1n)*yn>-<z*1n,?z2*2n>
=>?<aL-z*1n,(aR+z*1n)oyn+z2*2n>=z2*v+(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>???(9)
医疗保健公司TrustedHealth希望利用区块链技术为患者服务:据cointelegraph报道，医疗保健公司TrustedHealth准备推出基于区块链的生态系统，旨在为患有慢性疾病的患者提供服务。在TrustedHealth的平台上，患者可以快速咨询擅长其病症的医生，区块链技术会显著改善患者敏感数据的存储，并使患者与医疗保健提供商能够快速交换信息。[2018/3/19]
=>?令
L=?aL-z*1n
R=?(aR+z*1n)oyn+z2*2n
δ=?(z–z2)*<1n,yn>-z3*<1n,2n>
5.验证：
1.证明者把L/R/V发送给验证者；
2.验证者事先算好δ
3.验证者根据L算出来aL，根据<aL,2n>=v算出v
4.验证者根据L,R,v,δ验证等式<L,R>=z2*v+δ
因为y，z都是验证者提供，因此如果验证者如果能验证公式(9)成立，则相信等式(5)(6)(7)成立，则相信等式(2)(3)(4)成立，则相信v满足关系v?。
但是，可以看到上述过程，泄露了v的信息，因此需要一个零知识证明协议。
6.?一个零知识证明协议
由于L,R包含了v的相关信息，因此，我们需要添加两个盲因子s
L
、s
R来隐藏a
L，a
R。如公式(10)(11)所示：
l(X)=(aL-z*1n)+sL*X)??(10)
r(X)=(aR+z*1n+sR*X)oyn+z2*2n???(11)
此时，定义公式(12)
t(X)=<l(X),r(X)>=t0+t1*X+t2*X2???(12)
可以看出系数t
0是l(x)和r(x)常数项的乘积，即满足：
t0=<L,R>=z2*v+δ
因此，问题由证明：
<L,R>=z2*v+δ
转化成了，在任意一点x，验证者验证多项式值l(x),r(x),t(x)满足关系：
<l(x),r(x)>=t(x)
多项式值l(x),r(x),t(x)由证明者提供，为了保证l(x)，r(x)well-formed，即：
l(x)=(aL-z*1n)+sL*x)
r(x)=(aR+z*1n+sR*x)oyn+z2*2n
需要校验：
P=A*Sx*g(-z)*(h`)z*yn+z^2*2^n
=hαgaLhaR*(hρgsLhsR)x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hαgaLhaR*?hρxgsL*xhsR*x*g(-z)*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*haR+sR*x*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)*(h`)z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x)+z*y^n+z^2*2^n
=hα+ρx*gaL+sL*x–z*1^n*(h`)y^no(aR+sR*x+z*1^n)+z^2*2^n
=?hμgl(h`)r
=>当且仅当l/rwell-formed，等式成立
为了保证t(x)well-fromed，即：
t=t0+t1x+t2x2
需要校验：
=>gthτx=?Vz^2*gδ*T1x*T2x^2
=>gthτx=?(hrgv)z^2*gδ*(gt1)x*(hτ1)x*(gt2)x^2*(hτ2)x^2
=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gz^2*v+δ+t1*x+t2*x^2
=>gthτx=?hz^2*r+τ1*x+τ2*x^2*gt0+t1*x+t2*x^2
=>t=?t0+t1*x+t2*x2&&τx=?z2*r+τ1*x+τ2*x2
=>当且仅当t和τxwelle-formed，等式成立
具体的协议流程图如下图所示：
总结
从上述流程可以看出，一次rangeproof，证明者需要发送总共{
l/r/t/
τ
x
/
μ
/T1/T2/A/S}个元素给验证者，总共2n+3个Z
p元素，4个G元素。下一篇文章将细讲，Bulletproofs如何将交互复杂度降低到对数级O(log(n))
附录
1.Bulletproofs论文：
chrome-extension://cdonnmffkdaoajfknoeeecmchibpmkmg/assets/pdf/web/viewer.html?file=https%3A%2F%2Feprint.iacr.org%2F2017%2F1066.pdf
郑重声明： 本文版权归原作者所有， 转载文章仅为传播更多信息之目的， 如作者信息标记有误， 请第一时间联系我们修改或删除， 多谢。