前言
Bulletproofs，又一个有意思的零知识证明算法，相信读者已经很熟悉它了。和zk-snark相比，它不需要可信设置；和zk-stark算法相比，它具有较小的proofsize。根据论文，它有两个方面的应用：
用于rangeproof；用于一般算术电路的零知识证明。下面，让我们先看一下Bulletproofs是如何高效的实现第一点。Rangeproof
1.预备知识
aL：表示向量{a1、a2……an}
2n：表示向量{20、21…2n-1}
<a、b>:表示向量内积∑ai*bi，结果是一个值
aob：向量对应位相乘，{a1*b1……anbn}，结果是一个向量
西藏：充分运用区块链推进内外部涉税数据汇聚联通:8月28日消息，西藏自治区昨日召开新闻发布会介绍《关于进一步深化税收征管改革的实施方案》内容及落地相关情况。《方案》指出，西藏将加强数字政府建设，深入推进以数治税，建成功能强大的智慧税务，税务部门将充分运用区块链等现代信息技术，推进内外部涉税数据汇聚联通。[2021/8/28 22:43:07]
2.证明
Alice想要证明?v??=>则，需要证明一个relation得成立，如下所示：
{：V=?grhv?^v??}
public-xwitness-wrelation-R
即，对于公开信息x，Alice有隐私信息w，使得关系R成立。
令aL为金额v的在范围内的二进制形式，则aL={a1、a2……an}?{0,1}n，且满足<aL,2n?>=v。因此，证明者需要证明以下几个等式相等：
江北新区区块链顶尖人才可享受最高300万元购房补贴:根据6月5日发布的《江北新区（自贸区）促进区块链产业发展若干政策措施》，经认定的区块链顶尖人才可享受最高300万元购房补贴。（国际金融报)[2020/6/13]
等式(1)确保了承诺V和金额v的绑定关系，等式(2)确保了v的范围，等式(3)、(4)确保了aL?元素只属于{0,1}。等式(2)/(3)/(4)总共包含了2n+1个约束，其中公式(2)1个，公式(3)(4)各n个。接下来，为了效率，我们需要把2n+1个约束转换成1个约束。
3.2n+1个约束转换成1个约束
=>预备：从Zp?中任意选择一个数y，则b=0n是等式<b,yn>=0成立的充分条件；因为当b!=0n，等式成立的概率仅有n/p，p是有限域，远大于n。因此，如果有<b,yn>=0，那么验证者愿意相信b!=0n?。
工信部公布重点领域人才评价和能力提升任务承担机构名单，多家机构凭区块链技术入选:3月9日，工业和信息化部人才交流中心公布重点领域人才评价和能力提升任务承担机构名单。重点领域人才评价机构名单中，深圳前海微众银行股份有限公司、链人国际资咨询（北京）有限责任公司凭借区块链技术入选；重点领域人才能力提升机构名单中，北京京东世纪贸易有限公司等19家机构凭借区块链技术入选。（工信部人才交流中心官网）[2020/3/10]
利用这个理论，我们把等式(2)/(3)/(4)做以下转换：
验证者随机选取一个数y发送给证明者证明者要证明：
同理，等式(5)确保了v的范围，等式(6)(7)确保了aL?元素只属于{0,1}。此时2n+1个约束转换成3个约束，接下来，还需要做进一步的处理：
验证者随机选取一个数z发送给证明者证明者利用z对公式(5)(6)(7)进行线性组合，得到如下公式：z2**<aL、2n?>+z*<aL?-1n-aR、yn>+<aL、aR?oyn?>=z2?*v(8)
至此，我们已经把2n+1个约束转换成1个约束。下面我们对公式(8)做进一步的优化，把三个点积优化成1个点积。
4.三个点积优化成1个点积
=>令
L=aL?-z*1n
R=(aR?+z*1n)oyn?+z2?*2n
δ=(z–z2)*<1n,yn?>-z3*<1n,2n?>
5.验证：
证明者把L/R/V发送给验证者；验证者事先算好δ验证者根据L算出来aL，根据<aL,2n?>=v算出v验证者根据L、R、v、δ验证等式<L,R>=z2?*v+δ因为y，z都是验证者提供，因此如果验证者如果能验证公式(9)成立，则相信等式(5)(6)(7)成立，则相信等式(2)(3)(4)成立，则相信v满足关系v?。
但是，可以看到上述过程，泄露了v的信息，因此需要一个零知识证明协议。
6.一个零知识证明协议
由于L、R包含了v的相关信息，因此，我们需要添加两个盲因子sL、sR来隐藏aL，aR。如公式(10)(11)所示：
此时，定义公式(12)
可以看出系数t0是l(x)和r(x)常数项的乘积，即满足：
t0?=<L,R>=z2*v+δ
因此，问题由证明：
<L,R>=z2*v+δ
转化成了，在任意一点x，验证者验证多项式值l(x),r(x),t(x)满足关系：
<l(x),r(x)>=t(x)
多项式值l(x),r(x),t(x)由证明者提供，为了保证l(x)，r(x)well-formed，即：
需要校验：
=>当且仅当l/rwell-formed，等式成立
为了保证t(x)well-fromed，即：
t=t0?+t1x+t2x2
需要校验：
=>?当且仅当t和τx?welle-formed，等式成立
具体的协议流程图如下图所示：
总结
从上述流程可以看出，一次rangeproof，证明者需要发送总共**{l/r/t/τx?/μ/T1?/T2/A/S}**个元素给验证者，总共2n+3个Zp元素，4个G元素。下一篇文章将细讲，Bulletproofs如何将交互复杂度降低到对数级O(log(n))。
附录
Bulletproofs论文：https://ieeexplore.ieee.org/stamp/stamp.jsp?tp=&arnumber=8418611
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