从数学角度论证和解释 Uniswap 创始人与 Paradigm 研究团队设计的全新做市模型 TWAMM 的工作原理。
最近，Paradigm 研究合伙人 Dave White、Dan Robinson 与 Uniswap 创始人 Hayden Adams 一起合作设计了一个全新的做市模型「时间加权做市商 TWAMM」（The Time-Weighted Average Market Maker）。根据其发表文章介绍，TWAMM 可以在以太坊上有效地交易大额订单，工作原理是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，在一定时间内使用嵌入式 AMM 平滑地执行这些交易。
关于 TWAMM 的虚拟交易所涉及的数学，Dave White 在文中并没有多费笔墨，只在最后给出了非常简单的数学结论，这对于理解 TWAMM 的数学原理非常不利。本文将重点对 TWAMM 的数学原理进行严格的论证和解释，至于 TWAMM 模型详细的设计原理，可以前往 Paradiagm 官网查看，本文不再做详述。
21Shares推出两只专注于DeFi的加密ETP:5月12日消息，瑞士加密ETF发行商21Shares推出两只ETP，允许投资者获得DeFi敞口。21Shares周四在瑞士SIX交易所上市了其Layer 1 ETP（LAY1），21Shares DeFi 10 Infrastructure ETP（DEFII）将于5月18日在BX瑞士交易所上市。
LAY1跟踪指数提供商Vinter开发的一个指数，包括按市值计算的15个最大的Layer 1区块链。每个区块链分配的最大权重为30%，每季度进行一次再平衡。
DEFII也跟踪Vinter指数，专注于DeFi应用程序和Layer 1区块链，每个部分代表基准的一半。这两类资产都是按市值排序的，每季度重新加权一次。
据该公司称，21Shares是欧洲首家推出基于DeFi指数的ETP发行商。这些产品可供欧洲各地的投资者使用，21Shares将寻求在其他区域交易所交叉上市。（Blockworks）[2022/5/12 3:10:16]
假设 TWAMM 执行大额虚拟交易需要 N 个区块，出售 X 的池子以每区块 xrate 的速率出售，而出售 Y 的池子以每个区块 yrate 的速率出售。因此，在整个期间售出的 X 总量为 xin=Nxrate，售出的 Y 总量为 yin=Nyrate。
DeFi基准利率今日为3.21%:金色财经报道，据同伴客数据显示，06月23日DeFi去中心化金融基准利率为3.21%，较前一日下降0.03%。同期美国国债抵押回购率（Repo Rate）为0.06%，二者利率差为3.15%。
DeFi基准利率代表了DeFi融资难易程度，利率越高说明融资成本越高，利率越低说明融资成本越低。其与Repo Rate的利率差则便于DeFi与传统市场作进行同类比较。[2021/6/23 0:00:27]
同时，我们将此时间段嵌入 AMM 的初始储备 xreserve 和 yreserve 分别表示为 x0=xammStart 以及 y0=yammStart。
按照 TWAMM 的设计，大额订单是随着区块进行交易的，每个区块出售 xrate 得到 yout，或者出售 xrate 得到 yout，同时 AMM 会更新 xreserve 和 yreserve 的值，整个过程总共交易 N 次。
Cardano与DeFi项目Bondly Finance合作 代币迁移到Cardano:12月11日消息，Cardano正大举进军去中心化金融（DeFi）行业。开发团队IOHK宣布与点对点加密货币交易所Bondly Finance合作。Bondly是第一个由Cardano支持的DeFi项目。作为合作关系的一部分，Bondly协议的本地代币BONDLY将从竞争对手Polkadot迁移到Cardano。根据最近的Goguen更新，开发团队正在逐步实现本地代币和行业规模的智能合约。（U.Today）[2020/12/11 14:52:37]
值得注意的是，AMM 的每个区块交易总是遵循恒定乘积做市。
DeFi 概念板块今日平均跌幅为2.30%:金色财经行情显示，DeFi 概念板块今日平均跌幅为2.30%。47个币种中10个上涨，37个下跌，其中领涨币种为：HDAO(+6.29%)、TRB(+5.94%)、HOT(+5.75%)。领跌币种为：KCASH(-11.04%)、SNX(-9.60%)、YFII(-9.13%)。[2020/11/28 22:24:22]
首先，在执行第 n-1 区块的交易后，我们假设此时 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值分别为 xn-1 和 yn-1。
接下来执行第 n 区块的交易，X-Pool 和 Y-Pool 分别向 AMM 输入 xrate 和 yrate，命：
因为 xrate 和 yrate 非常微小，且区块的交易 AMM 遵循恒定乘积做市商，我们可以得到，
化简，
在得到 xout,n 和 yout,n 的值后，我们进一步可以获得 n 区块的交易后 AMM 的 xreserve 和 yreserve 值 xn 和 yn，
通过观察，我们发现 xn*yn=xn-1*yn-1，这正好符合 AMM 的循恒定乘积做市的前提要求。
令， xn*yn=xn-1*yn-1=...= x1*y1=x0*y0=k，这是一个常数。
先对 xn 求得一般公式，并获得 xammEnd=xN 的值，yn 同理。
yn 的分式线性递归表达式如下：
首先，若 yin 等于 0，xin 不等于 0，则
计算得到，
而，
xin 等于 0，yin 不等于 0 时，讨论同上。
若 xin 和 yin 都不等于 0，对于一般的分式线性递归，我们可以采用不动点的方法求解。
进一步计算，
TWAMM 的基本假设是将长期大额订单分解为无限多个无限小的虚拟订单，也即是 N 可以取无穷大，这时候可以获得 xN 的极限值。
其中，
相似的，
最后，经过简单的验证 xammEnd*yammEnd=xammStart*yammStart=k, 依然满足 AMM 的恒定乘积。
至此，我们完成了 TWAMM 的数学原理严格的论证和解释，并得到了与 「时间加权做市商 TWAMM」 一文完全相同的结论。
撰文：luffy
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