Ed25519 是一个基于椭圆曲线的数字签名算法，它高效，安全且应用广泛。TLS 1.3, SSH, Tor, ZCash, WhatsApp 和 Signal 中都使用了它。本文主要讲解以下几点：
1. 介绍一点群论知识，目的是让大家对 Ed25519 和其可延展性问题的原理有一种直觉。若想深入理解，还需参考其他资料；
2. 针对 rust 库 ed25519-dalek 的 1.0.1 版本讲解 ed25519 的实现；
3. 针对该库的延展性问题做出解释。
数学要点回顾
群的定义与性质
群论是抽象代数研究的内容，但抽象代数的一些思想是程序员非常熟悉的。面向对象中的继承就是一个很好的例子，我们都知道子类继承了父类后，就能使用父类中定义的方法。可以将抽象代数理解为对一个抽象的数据结构定义了一些性质，由这些性质推导出来的定理对于所有的子类都成立。
慢雾：已冻结部分BitKeep黑客转移资金:12月26日消息，慢雾安全团队在社交媒体上发文表示，正在对 BitKeep 钱包进行深入调查，并已冻结部分黑客转移资金。[2022/12/26 22:08:58]
沿用刚刚的比喻，来看看群（group）这个数据结构是如何定义的。
由此可以推出许多有意思的定理：
举几个例子：
慢雾：V神相关地址近日于Uniswap卖出3000枚以太坊:11月14日消息，据慢雾监测显示，以太坊创始人Vitalik Buterin地址（0xe692开头）近日在Uniswap V3上分三笔将3000枚以太坊（约400万美元）兑换成了USDC。[2022/11/14 13:03:22]
拉格朗日定理
现在介绍一个非常有意思的定理，这个定理的推导在文末引用的视频中。
“群的阶能被子群的阶整除。”
为什么说这个定理有意思呢，不仅仅因为它的证明过程串起了刚刚介绍的许多知识，还因为下面的结论：
慢雾：Gate官方Twitter账户被盗用，谨慎互动:10月22日消息，安全团队慢雾发文称：加密平台Gate官方Twitter账户被盗用，谨慎互动。半小时前，攻击者利用该账户发文，诱导用户进入虚假网站连接钱包。此外，慢雾科技创始人余弦在社交媒体上发文表示：注意下，Gate官方推特应该是被黑了，发送了钓鱼信息，这个网址 g?te[.]com 是假的（之前谈过的 Punycode 字符有关的钓鱼域名），如果你去Claim会出现eth_sign这种签名钓鱼，可能导致ETH等相关资产被盗。[2022/10/22 16:35:14]
Ed25519 的实现
现在我们来讲 Ed25519，它是 EdDSA 算法的其中一种。EdDSA 有 11 个参数（https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc8032#autoid-3），这些参数的具体选择对于算法的安全和性能有很大的影响。Ed25519 的具体选择请参看链接（https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc8032#autoid-9）。
慢雾：ERC721R示例合约存在缺陷，本质上是由于owner权限过大问题:4月12日消息，据@BenWAGMI消息，ERC721R示例合约存在缺陷可导致项目方利用此问题进行RugPull。据慢雾安全团队初步分析，此缺陷本质上是由于owner权限过大问题，在ERC721R示例合约中owner可以通过setRefund Address函数任意设置接收用户退回的NFT地址。
当此退回地址持有目标NFT时，其可以通过调用refund函数不断的进行退款操作从而耗尽用户在合约中锁定的购买资金。且示例合约中存在owner Mint函数，owner可在NFT mint未达总供应量的情况下进行mint。因此ERC721R的实现仍是防君子不防小人。慢雾安全团队建议用户在参与NFTmint时不管项目方是否使用ERC721R都需做好风险评估。[2022/4/12 14:19:58]
另外，值得一提的是这套算法用到了一个叫 Curve25519（https://datatracker.ietf.org/doc/html/rfc7748#autoid-5）的椭圆曲线。对于椭圆曲线，我们只需知道，它上边有很多很多点，这些点相加能得到新的点，新的点还是在曲线上。这些点和这个加法能形成一个群。注意这里的椭圆曲线加法（https://www.wikiwand.com/en/Elliptic_curve_point_multiplication）是有特殊定义的。
我们约定如下记法：
这是个交互式的算法，但是没关系，有一个技巧叫做 the Fiat – Shamir heuristic（https://link.springer.com/chapter/10.1007%2F3-540-47721-7_12），它可以把任意的交互式算法转化成非交互式的算法。最终我们会用非交互式算法。
数字签名算法都会给我们如下 API：
密码学算法的实现和使用都有非常多要注意的地方。当我们说一个数字签名算法是安全的，一般指的是即使在攻击者能够获得任意消息的签名（Chosen Message Attack）的情况下，攻击者仍然不能伪造签名。Ed25519 满足这个性质，但不代表 Ed25519 是绝对安全的。在原始的论文中也提到，可延展性问题是可以接受的，且原始的算法就有这个问题。
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