作者：DeFi研究员VincentLu
Pechtl的模型
1995年，Pechtl提出离散时间转换认购期权，如果在Δt内，资产价格超过了行权价X，则投资者可以在期权到期的时候获得这段时间的收益为AΔt，同理，在离散时间认沽期权中，在某个Δt内，资产价格低于了行权价X，则投资者可以在期权到期的时候获得这段时间的收益为也为AΔt。
Pechtl根据理论和BS模型，他计算出这种认购期权的定价可以用如下算式来表达：
中币（ZB）市场研究报告：美国机构持续进场:据中币（ZB）市场研究报告显示，机构入局区块链势头不减，美国一家知名金融服务技术公司Investview在此前比特币下跌中买入比特币和其他代币，区块链行业和加密货币市场对传统行业的吸引力仍之持续。受机构持续入局加密货币市场的影响，币市下跌趋势放缓，最近24小时BTC最低报价53915美元，最高报价56851.6美元，3月15日，空头在交易结束时跌破$ 55993.80的小支撑位，目前比特币的支撑点位55000美元已经失守，在本周重新冲击62000美元的机率降低。此外该报告还对ETH和LTC做出了一周技术分析，更多详情请查阅中币（ZB）官方发布的研究报告。[2021/3/17 18:53:25]
认沽期权的定价可以用如下算式来表达：
分析 | BitMEX研究报告：BCH哈希值高波动性没有受到操纵:BitMEX昨日发布的一份研究报告表示，BCH哈希值异常高的波动性”引发了人们对某些特定地址的担忧，这些地址以发现的块数百分比为主导。研究结果表明，“这种波动性可能使网络在某些时期的支付可靠性略有下降，尽管这不是一个主要问题”。 报告称，虽然进行的其他测试很少可能涉及操纵，但“我们无法找到任何时间操纵或其他恶意挖矿策略的证据”。BitMEX最后的研究结论称BCH的哈希值波动可能需要一次硬分叉，这与已经计划在不久的将来升级的硬分叉不同。BitMEX建议BCH生态系统“合并挖矿，采用比特币的两周调整期，减少出块时间”。（AMBCrypto）[2019/11/1]
动态 | 研究报告:比特币作为一种资产变得成熟促使其价格飙升:据彭博社报道，最新数据显示，比特币(BTC)的增长可以用其作为一种资产变得成熟来解释，这种成熟是基于围绕比特币的讨论。彭博援引了网络智能平台Indexica的一份报告，该报告开发了一个基于文本文档自然语言处理的指数，试图解释比特币最近的飙升。这项研究揭示了推动比特币增长的三大因素，包括围绕比特币的对话、对欺诈的担忧减少，以及人们对比特币的看法从过去转向未来的转变。研究报告称，越来越多的金融专家和学者正在对比特币进行研究，传统机构也在更加认真地对待它。[2019/5/16]
其中S为现价，X为行权价，波动率为σ
动态 | “CITE2019区块链技术应用研究报告”今日发布:据新华财经报道，4月10日，在由工业和信息化部、深圳市人民政府主办的2019中国国际区块链技术与应用大会上，CITE2019区块链技术应用研究报告正式发布。报告分为宏观、产业、展望三个部分。第一部分宏观篇是对区块链产业发展的概述以及对中国区块链政策的梳理;第二部分产业篇主要在应用实践、技术支撑两方面内容中进行展开;第三部分展望篇是对区块链未来发展做了分析。[2019/4/10]
在这两个算式中，n=T/Δt，如果期权合约已经生效了一段时间，则需要在期权定价公式中增加一项：ΔtA·exp(-rT)·m，其中m是已经满足时间转换条件的时间单位数量
基于Pechtl模型的改动
我们对Pechtl的理论做一点小改动，如果某投资者能在认购期权价格超过行权价格的时候就获得收益，并且收益的计算方式为*Δt，例如，Alice从Bob那里买了一个行权价格为110美元的认购期权，到期时间是1年。在这年里，价格在11月份突破了行权价，到达了120～130美元，而到了十二月份，价格下跌，跌破了90美元，虽然到期时间来临时，期权价格仍然低于110美元，但是Alice仍然可以在11月获得期权高于行权价的那部分收入。
考虑到在Pechtl模型中，收益为到期日后才获得，所以在估算价格中，会有折现因子exp(-rT)，其中r为无风险利率。那如果当时就行权，在第i个周期内，获得概率的可能性应为：
我们的认购期权模型中，另一个改动是超过行权价，投资者获得的收益为??Δt，而不是像Pechtl模型中的固定常数A，在这种情况下，我们必须修订Pechtl的公式，应该用每个??并累加。在数学上就是积分的形式：
模型中的另外一个改动就是：购买认购期权的投资者是立即获得收益，而不是等到到期日之后才会获得，因此需要把每天的收益折现到当前。考虑到无风险利率是r，那么每天的收益即为r/365，第i天的现值应该为：
把所有的Ci累加，就得到了这种期权的定价方式：
Python模拟
我们用Python模拟了这种认购期权的定价方式：假设现价为100美元，无风险利率为6%，波动率为26%，我们研究这种认购期权价格C和到期天数n之间的关系。
这种情况很符合日常感觉，如果到期天数长，风险增加，价格超过行权价的可能性也增加了。因此认购期权就贵了，但是增长幅度变慢了，如果到期天数无限大，价格应该会收敛到一个定值。
永续时间转换期权的定价方式
在上式中令n趋近于无穷大，我们可以得到这种期权的定价模型为：
原文链接：https://medium.com/@Vincent.R.Jaipul/perpetual-timer-option-pricing-8bd9f4139e79
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