前言
上一篇文章中，我们在"F_101"上找到了17个点满足椭圆曲线方程，他们构成一个循环。那么在"F_101"中元素作为坐标的点中还有没有其他的点也满足方程呢？换句话说，上篇文章列出的17个点是不是就是满足方程的全部的解呢？并非如此，比如可以验证(3,38)也满足椭圆曲线的方程，但是他不是上面17个点中的一个。另一个子群
实际上，我们甚至可以通过将(6,44)作为生成元来得到一个102个元素的循环群，这个循环群涵盖了曲线在"F_101"上的全部点。但是，曲线在"F_101"上的循环周期为17的循环群却只有中篇列出的一个，也就是说在"F_101"上讨论的话，循环周期为17的点已经被我们全部找到了。
在中篇中，我们也提到数域的扩张会直接影响我们需要讨论的点的多少，那么如果我们对"F_101"进行扩张，是否能够得到更多的循环周期为17的点呢？METASTATE的博客中给出这样一个例子，我们将用这个例子说明这个命题的真假。首先我们选择满足j^2mod17=15的j用于对"F_101"的扩张，过程就像我们上一篇文章中进行的那样，扩张后的域记为“F_101的二次扩域”。在这个扩张下，我们可以找到另一个循环周期为17的群，下面的表格列出这个群的全部元素：
北京丰台：提高加密等数字货币关键密码技术研发，探索数字金融沙盒实验:金色财经报道，北京市丰台区人民政府印发《“十四五”时期丰台区高精尖产业发展规划》，在金融科技（数字金融）方面，支持中国人民银行数字货币研究所加强技术研发投入，稳妥推进数字人民币试点应用场景建设，提高对称、非对称密码算法、认证和加密等数字货币关键密码技术研发能力，支持数字货币及相关底层平台软硬件系统的架构设计和开发。加强区块链等技术发展，研究网络模型、分布式存储、零知识证明、链上链下协同、监管科技等技术，以应用场景开放推动区块链技术在更大规模的商业场景中落地。探索数字金融沙盒实验等业务监管新模式。[2022/2/19 10:02:38]
我们随机选择(66,0+23j)这个元素来验证其满足曲线方程：
Oasis Capital创始人：2021年的三个财富密码是比特币、波卡和Defi:金色财经年度巨献洞见财富密码2021投资策略会持续进行中，本期力场及Oasis Capital创始人廖洋阳Ocean《加密浪潮2021：三个财富密码》的精华看点如下：2020年的“牛市”仅仅是小波浪，2021年才会掀起真正的加密浪潮。2021年的三个财富密码是比特币、波卡和Defi，人多、钱多、故事多是我们选择财富密码的核心依据。力场也会通过社区、资本、钱包和Defi协议4个维度参与到这个波澜壮阔的大时代当中去。[2020/12/31 16:07:21]
左侧：y^2mod101=^2mod101=23×15mod101=42
右侧：x^3+3mod101=41^3=3mod101=42
左侧等于右侧，验证完毕。
在发现通过域扩张后还能找到更多的17阶点后，我们不禁会想：
现场 | 密码学专家杨光：实现百万级TPS几年内希望不大 领域内突破将有助发掘新应用场景:金色财经现场报道，在全球区块链开发者2018会议期间，金色财经采访了刚刚演讲的密码学专家杨光。他认为，目前扩容领域研究的主要方向是可验证计算、零知识证明等技术，分片技术也具有广阔的前景。他认为，区块链实现百万级TPS值得追求，但几年内希望不大。当前来看公链上的TPS对于运行当前的应用来讲是够用的，但未来在TPS上的突破，能够提供给我们新应用的探索可能。就像当今互联网速度的提升让我们实现了早期互联网时期人们难以想象的应用一样。[2018/12/16]
继续对”F_101的二次扩域”进行扩张，能否找到更多的17阶点呢？
或者是：为了找到全部的17阶点，我们需要对F_101进行几次扩张呢？
嵌入度其实就是描述这个问题的一个概念。E是定义在F_101上的椭圆曲线，我们已经有一个包含n=17个点的子群，我们称这个子群的嵌入度是满足17整除q^k-1的最小的k。在这个例子中，k=2。计算嵌入度的价值在于事实证明，当对F_101进行扩张以期其上的椭圆曲线包含全部17阶点时，最小的扩张次数就等于嵌入度。也就是说在”F_101的二次扩域”上，我们已经找到全部的17阶元素。
声音 | 洪蜀宁：密码货币的货币属性不可抹杀 监管的重点在于监督:今日，在“密码货币、通证与无币区块链”2018学术研讨会上，金丘区块链研究院院长洪蜀宁发表了题为《密码货币性质研究及监管建议》的演讲。他在演讲中透露，密码货币的监管需要考虑两大要素，第一点在于需求侧，即密码货币的货币属性是不可抹杀的；第二点是供给侧，从技术上以及理论上来说，去中心化的密码货币是无法禁止也不可能被消灭的，市场将永远存在。而监管重心在监不是管，要把这个市场监督好，把不良的行为踢出去。[2018/8/23]
Millier循环
下面给出计算双线性映射的Millier算法，当计算e(P,Q)时，该算法根据P的坐标创建一个二元多项式，然后将P坐标的x和y分量带入求值：
动态 | Seele元一密码学黄皮书正式公开:今日，Seele元一全球首发的密码学领域黄皮书“多重椭圆曲线的数字签名方法”已被提交至全球预印本资料库资料库资料库arxiv.org发表，并随后于Seele元一官网Seele.pro全文公开。该黄皮书通过椭圆曲线数量和六个参数的动态调整，实现了适用于不同应用场景和安全需求的动态签名机制。Seele元一首席科学家毕伟博士表示：“新签名算法和独特的运行机制，为主网上线提供了更加坚实的安全技术保障。[2018/8/10]
METASTATE的博客中作者已经计算了e((1,2),(90,82u))点的结果为97+89j。我们给出另外一个计算的例子，并且稍后通过对比这两个例子的结果说明双线性对的一些属性。
其中f_17是二元的多项式，通过一个称为Millier循环的过程我们可以生成该多项式，这个过程类似于计算指数运算时的mul-and-square操作。但是为了更直观的展示原理，我们选择根据上文定义直接展开计算f_17，这会增加一些计算量。
因此我们需要计算
的表达式。通过查询上一篇文章的列表我们可以找出P，±2P，±4P，±8P,±16P的值,其中P=(12，32)=5G：
接下来我们来计算这些直线的方程：
这样我们已经可以计算f_17的结果：
最后我们计算(81+52j)^600
完全解决curve101配对问题
实际上，我们可以计算出GT的生成元e(G1,G2)，也就是e((1,2),(36,31j))，其值为7+28j。这样我们能够完全掌握GT中全部的元素：
可以看到GT也是一个循环群，他其实是在“F_101的二次扩域”上满足方程x^17=1的17个根。根据该表我们不加以计算就可以知道这个配对的任何一个计算结果，例如e((12,32),(36,31u))=e(5G1,G2),因此其值就是上表的第5个元素：93+25j。我们之所以能够完全解决curve101的配对问题，是因为curve101的一系列参数决定其足够简单，而实际零知识证明算法中使用的配对就要复杂很多。例如一些标准中要求其配对曲线的嵌入度至少为12，这意味着GT的元素至少是基础素域的12次扩张！如果其素域特征为常见的256位，那么为了表示一个GT元素就需要256*12/8=384字节的大小。对于任何一个实际使用的曲线，其计算复杂度和规模都使我们当前绝无可能计算出其映射表，这也是离散对数问题困难的所在。
通过系列文章，我们计算了一个简单的配对曲线，加深了对双线性映射的理解。后续，我们继续使用这个配对曲线来讲解和演示零知识证明中Groth16算法的过程和原理，敬请期待。
乔沛杨趣链科技基础平台区块链底层密码学小组
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