上一篇主要描述了PLONK协议里的一个核心部分，用置换校验的方法去证明电路门之间的一致性；接下来，将继续分享如何证明门的约束关系得成立，以及整体的协议剖析。
门约束
举个简单的例子，假如存在一个电路，电路中仅有3个乘法门，对应的约束如下：
L1*R1-O1=0
L2*R2-O2=0
L3*R3-O3=0
进行多项式压缩：定义多项式函数L(X),R(X),O(X)满足：
L(1)=L1,R(1)=R1,O(1)=O1
L(2)=L2,R(2)=R2,O(2)=O2
L(3)=L3,R(3)=R3,O(3)=O3
此时，定义新的多项式函数F(X)，令F(X)=L(X)*R(X)-O(X)
则有：
F(1)=L(1)*R(1)-O(1)=0
F(2)=L(2)*R(2)-O(2)=0
F(3)=L(3)*R(3)-O(3)=0
也就是表明：如果多项式函数F(X)在X=1,2,3处有零点，则说明门关系约束成立。
多项式函数F(X)在X=1,2,3处有零点则表明多项式F(X)可以被(X-1)(X-2)(X-3)整除，为了和论文一致，我们把这个多项式函数设置成Z(X)，即：
外媒：韩国年长女性投资者向子女学习比特币投资技巧:据一份最新报告显示，韩国的“加密妈妈”们正在认真对待购买比特币(BTC)和山寨币的问题，并向他们的子女请教如何进行更明智的投资。2017年韩国加密热潮主要由年轻男性投资者主导，而加密热2.0则迎来了40-59岁投资者的涌入，“加密妈妈”也加入了这场角逐。上个月，当地一名行业观察人士表示，“越来越多的女性买家站出来了”，而且许多人是受到了特斯拉等美国公司的“启发”。据当地媒体Chosun报道，一些母亲要求自己的儿子和女儿给他们比特币投资建议。该媒体称，40多岁和50多岁的“家庭主妇”现在“纷纷投资加密货币”。该媒体指出，Coinone交易平台的数据显示，50多岁的客户中有44%是女性，40多岁的客户中女性占31%。相比之下，20多岁的顾客中只有四分之一是女性。根据同一交易所的数据，40-59岁的人群占总交易量的30%。（Cryptonews）[2021/4/10 20:04:11]
F(X)=T(X)*Z(X)==>T(X)=F(X)/Z(X)
如果能证明T(X)是一个多项式，则说明多项式F(X)与Z(X)有相同的零点，进而说明门约束关系成立。
一般过程应该如下：
1.P计算F(X)并把F(X)发送给V；
2.V根据Z(X)直接校验F(X)/Z(X)
Casa联合创始人：比特币存储学习曲线过高，阻碍了加密采用:Casa联合创始人Jameson Lopp近期在播客节目中谈到了为保护个人比特币而需要实施的安全保管方法的重要性。根据Lopp的说法，大多数用户和投资者都觉得复杂的安全存储方法很难实现。“要感到安全且抵御一切危险，学习曲线是如此之高，以至于大多数人只是把比特币留在他们购买的地方。当你这样做时，我认为你实际上并不拥有比特币。”Lopp还指出，在2100万枚的供应量中，大约有200万枚比特币已经丢失，其中许多是由于所有者的失误造成的，尤其是在存储问题上。（AMBCrypto）[2020/4/18]
但是如此过程存在两个问题，一个是复杂性问题，假如F(X)的阶为n，那通信复杂度就是O(n)；而是安全性问题，多项式F(X)完全暴露给V。
那应该如何解决这两个问题呢？最佳的答案可能就是：多项式承诺
多项式承诺
什么是多项式承诺？就是证明方P用一个很短的数据来代表一个多项式F，这些很短的数据可以被验证方V用来验证多项式F在某一点的值确实为证明方P声称的值z。
具体看一下论文里的定义：
声音 | 江苏省政协委员：希望以区块链技术为核心建设学习型社区:金色财经报道，1月15日下午，江苏省政协委员、光华教育集团董事长、盐城外国语学校董事长鲁育宗表示，我们希望通过有效整合资源，以区块链技术为核心，充分利用现有高等院校、职业院校、社会学习中心等各类型学校和企业、社会资源，建设一个集在线教育、学分银行以及数据与人才中心等功能于一体的学习型社区，以学生为中心建设新的专业人才培养和供应体系，打造人才培养共同体，为社会培养更多更好的人才，为建设‘学习型社会’作出新的贡献。[2020/1/16]
由图可知：
1.Setup:初始化，生成计算多项式承诺需要的一些必备参数；
2.Commit:计算多项式承诺，其结果是一个值；
3.Open:返回与多项式承诺对应的多项式函数；
4.VerifyPoly:验证多项式承诺是否和多项式函数一致；
5.CreateWitness:证明多项式函数在某一点的值是否是证明方P声称的值，具体的数学方法就是：判断多项式是否能被整除，即：
6.VerifyEval:验证方V验证多项式函数在某一点的值是否是证明方P声称的值，具体的数学方法是：利用双线性配对验证其数学乘法逻辑关系。
继续回到我们上面的问题：
动态 | 衡水市委理论学习中心组（扩大）召开区块链专题学习会:11月28日上午，衡水市委理论学习中心组（扩大）召开区块链专题学习会，深入学习总书记在中央局第十八次集体学习时的重要讲话精神和区块链相关知识。市委常委、秘书长孙世岩孙世岩在主持会议时强调，各级各部门要坚持站位，深入学习领会习总书记重要讲话精神，切实把思想统一到党中央决策部署上来，主动加强对区块链技术的学习研究，熟悉基础知识，掌握相关政策，找准切入点、选好攻坚点，力争在区块链发展大格局中找准衡水位置。要不断加强对新经济、新科技、新模式、新业态的学习，坚持“走出去”与“请进来”相结合，提高开放意识、增强工作本领，为实现换道超车、跨越发展找到更多创新路径。要坚持厚植土壤，深刻认识区块链的变革性作用，探索培养引进一批懂理论、懂技术、懂应用、懂产品的专业人才和复合型人才，推动区块链技术在城市公共服务、医疗服务、企业服务及网络安全等领域发挥作用。（衡水新闻网）[2019/11/29]
证明方如何证明：T(X)=F(X)/Z(X)，我们再简化一下场景，就令Z(X)=X-1，则:
T(X)=F(X)/(X-1)==>T(X)*(X-1)=F(X)==>T(X)*X=F(X)+T(X)
对应多项式承诺的协议可知：证明方P其实是想证明多项式函数F(X)再X=1处的值为0，因此根据协验证方只需要证明：
声音 | 同济大学许涛：可通过区块链技术平台进行学习和认证:据光明网消息，同济大学创新创业学院副教授许涛表示，对那些因工作或其他原因而无法完成传统学校教育的个人学习者来说，通过区块链技术平台，可以把从不同教育机构修来的学分或学习结果绑定、组合在一起，申请认可此学习模式的教育机构的认证，获得相应毕业或学位证书。当前，英国开放大学已积极实践这一基于区块链技术的新型学习模式。此外，英国开放大学的“知识与媒体研究中心”已开发出组合“微认证”，即徽章的创新技术，以适应基于区块链技术平台的学习和认证。[2018/11/12]
e(Commit(T(x)),x*G)=？e(Commit(F(x))+Commit(T(x)),G)(双线性配对的性质)
可以看出，利用多项式承诺的数学工具，既可以实现复杂度的优化，又可以实现隐私保护。
协议
接下来分析一下完整的PLONK协议：
Relation
上图表示了PLONK算法里，要证明的一种关系，需要说明的是：
1.w代表着电路里的输入、输出，总共3n个，n是电路里乘法门的数量，每个门都有左输入，右输入和输出，因此w总共有3n个；
2.q*代表着选择向量，它的取值对应这这个是乘法门，还是加法门等类似的约束类型
3.σ代表着置换多项式，其表示门之间的一致性约束索引
4.倒数第一个公式代表门之间的约束成立
5.倒数第二个公式代表门的约束关系成立
CRS&P_Input&V_Input
上图表示了PLONK算法里的CRS设置，以及证明方P和验证方V的一些输入，需要说明的是：
1.整个协议都是基于多项式的，因此需要构建对应的多项式形式。
2.多项式σ的阶是3n的，由于和多项式承诺相关的CRS最高的阶位n+2，因此需要把σ拆分成3个多项式S,分别记录每个多项式的置换关系(L,R,O);
3.为了减少通信复杂度和保护隐私，协议基于多项式承诺构建，因此验证方V的输入都是承诺值。
Prove
上图表示了PLONK算法里证明方的一些操作，需要说明的是：
1.b1,...b9是随机数，从用法看是为了安全，但是我暂时也没明白，不加这个随机数，又会有什么安全问题？
2.a(X),b(X),c(X)分别是代表了电路里的左输入，右输入和输出
3.,,表示多项式的承诺值，参考多项式承诺小节里的承诺计算方法
上图表示了PLONK算法里证明方的一些操作，主要是置换校验，参考第一篇的置换校验的协议过程，生成多项式z(X)，需要说明的是：
1.β和?都是用来生成置换校验函数的参数，详见第一篇里f`(x)和g`(x)的生成过程；
2.z(X)的生成方式对应置换校验里跨多项式的生成过程，Li(X)为拉格朗日多项式基，性质满足，尽在x=i的时候为1，其他为0；
3.注意区分ω和w，ω是群H的生成元，是多项式的自变量的取值。w是电路的左输入，右输入和输出，是多项式L,R,O在在群H上的取值。
上图表示了PLONK算法里证明方P的一些操作，主要是把门约束和门之间的一致性约束组合到一起，通过α，需要说明的是：
1.根据前面的描述，门约束多项式和一致性约束多项式在群H上的所有元素都是取值为0的，因此都会被多项式ZH(X)整除，等同于上面所述的T(X);
2.因此，证明方只要能证明整除的结果的确是多项式，那就能证明，门约束多项式和一致性多项式在群H所有元素上取值为0，即所有约束关系成立，即电路逻辑成立；
3.可以知道的是t(X)的阶最高为3n，但是用于计算承诺的CRS只到了n的级别，因此需要把多项式t(X)拆分，然后单独计算承诺值。
上图表示了PLONK算法了证明方P的一些操作，主要根据多项式承诺的协议，前面P算出了多个多项式在点x=z处的值是多少，现在要用多项式承诺协议去证明，这些计算是正确的，需要说明的是：
1.为了减少验证方V的操作复杂度，t(X)的分子部分r(X)在x=z处的值，P计算好，然后验证方直接验证，其他的操作类似；
2.v的值看起来是为了更安全；
3.Wz(X)对应多项式协议里的CreateWitness操作，证明这些多项式r(X),a(X),b(X)等在x=z处的值确实等于r,a,b等，对Wzw(X)同理，并返回承诺值。
Verify
至此，证明方P的所有操作都完事了，接下来都是验证方V的操作。
上图表示了PLONK算法里验证方V的一些操作，主要重新生成相关的参数，确保证明方P没有作恶。需要说明的是：
1.从输入看，比较清晰，就是一些公开的输入和证明方P的证明输出；
2.根据输入，生成置换校验过程中需要的一些参数
上图表示了PLONK算法里验证方V的一些操作，对于一些公开的，并且计算复杂度很小的多项式，其在x=z处的值还是需要自己计算，更为方便。需要说明的是：
1.根据证明方P的过程来看，验证方V的核心工作就是验证两个多项式承诺；
2.两个多项式承诺验证需要两个配对，可以通过一个参数组合成一个配对，即μ；
3.在验证前，先计算Wz(x),Wzw(x)的分母在x=z处的值，两部分，减数和被减数，分别对应,。μ作为系数的，就是对应Wzw(X)多项式的。
4.最后通过一个双线性配对操作完成两个多项式承诺的验证。
结束
至此，PLONK算法的协议原理已全部分享完成，公式很密集，但是细分下来，又很有层次感。能坚持看完，已实属不易。各位读者有什么不同的简介，还请指教，谢谢。
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